วงรี

วงรี

                                                           Y

                                                                          B(0,b)     

                                                                                                 P(x,y)     

F/(x,y)

                     A (-a,0)                                                                              A(a,0)     

                                                            )Oฯฯ                    โF                                    X      

                                                            B (0,-b)

จากกราฟ  เป็นกราฟวงรีที่ผลบวกของระยะจากจุด P(x,y)  ใด ๆ บนวงรีไปยังจุดโพกัส F(-c,0) และ F(c,0) เท่ากับ  2a

มีความสัมพันธ์เป็น {(x,y) ÎRXR / + =  1 วงรีนี้

1.       จุดศูนย์กลางที่จุด   O(0,0)

2.        แกนเอกอยู่บนแกน X

3.        A^/ (-a,0) และ A(a,0)  เป็นจุดยอดของวงรี  และเรียก A ^/A  ว่าแกน เอก และ A ^/A ยาว  2a  หน่วย ( a  > 0   )

4.       B^/ (0, -b) และ B(0,b)  เป็นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก B^/ B ว่าแกนโท และ  B^/ B ยาว  2b หน่วย (b   >  0 )

5.       F^/(-c,0) และ F(c,0)   เป็นโพกัสของวงรี  และF^/ F   ยาว   2 c หน่วย ( c > 0  )

6.        a > b >    0  และ a > c > 0     และ     b²  = a² – c²

7.         latus  rectum ของวงรียาว    หน่วย

                                           Y

                                                 A(0,a)

                     P(x,y)

 

                                                                                                  X

          B(-b,0)                                                     B(b,0)

                                                          A(0,-a)

จากกราฟ  เป็นกราฟวงรีที่ผลบวกของระยะจากจุด P(x,y)  ใด ๆ บนวงรีไปยังจุดโพกัส F(0,-c) และ F(0,c) เท่ากับ  2a

มีความสัมพันธ์เป็น {(x,y) ÎRXR / + =  1 วงรีนี้

1.จุดศูนย์กลางที่จุด   O(0,0)

2. แกนเอกอยู่บนแกน Y

3. A^/ (0,-a) และ A(0,a)  เป็นจุดยอดของวงรี  และเรียก A ^/A  ว่าแกน เอก และ A ^/A ยาว      2a  หน่วย ( a  > 0   )

4.B^/ (-b, 0) และ B(b,0)  เป็นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก B^/ B ว่าแกนโท และ  B^/ B ยาว  2b หน่วย (b   >  0 )

5.F^/(0,-c) และ F(0,c)   เป็นโพกัสของวงรี  และF^/ F   ยาว   2 c หน่วย ( c > 0  )

6. a > b >    0  และ a > c > 0     และ     b²  = a² – c²

7.latus  rectum ของวงรียาว    หน่วย

วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ O^/(h,K)

                                                     Y                                         Y^/

                                                                                                  B(h,k+b

                                                                      

                                                                                                                                              X^/

                                                      A^/(h-a,k)                                       O     F  A(h+a,k)

                                                                                                    B^/(h,k-b)

                                                                                                                                          X

                                                     O

จากกราฟ  เป็นกราฟวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O^/(h,k)  และแกนเอกอยู่บนเส้นตรง  y = k

มีความสัมพันธ์เป็น {(x,y) ÎRXR / + =  1 วงรีนี้

1.จุดศูนย์กลางที่จุด   A^/ (h-a,k)และ A(h+a,k)

2. จุดปลายแกนโทอยู่ที่จุด B^/ (h,k-b)    และ  B (h,k+b)

3.จุดโพกัส F^/ (h-c, k) และ F(h+c,k)

4. a > b >    0  และ a > c > 0     และ     b²  = a² – c²

5  latus  rectum ของวงรียาว    หน่วย

จากกราฟ  เป็นกราฟวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O^/(h,k)  และแกนเอกอยู่บนเส้นตรง  x = h

                                                                                                                 Y^/             

                                                                                                                  A(h,k+a)

                                                                          Y                          

                                                                                                                                                       X^/

                                                                                 B(h-b,k)                                        B^/(h+b,k)

                                                                                                                            A^/(h,k-a)

                                                                         O                                                                     X      

มีความสัมพันธ์เป็น {(x,y) ÎRXR / + =  1 วงรีนี้

1.จุดศูนย์กลางที่จุด   A^/(h, k-a) และ A(h,  k+a)

2. จุดปลายแกนโทอยู่ที่จุด B^/ (h-b ,k)    และ  B (h+b ,k)

3.จุดโพกัส F^/ (h , k-c) และ F(h ,k+c)

4. a > b >    0  และ a > c > 0     และ     b²  = a² – c²

5  latus  rectum ของวงรียาว    หน่วย

วงกลม

วงกลม

บทนิยามของวงกลม

                วงกลม  คือ  เซตของจุดทุกจุดบนระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะทางเท่าๆกัน

ส่วนต่างๆของวงกลม

1.  จุดคงที่ O                                                       เรียกว่า             จุดศูนย์กลาง

2.  ส่วนของเส้นตรง  OC                                     เรียกว่า             รัศมี

3.  ส่วนของเส้นตรง  DE                                     เรียกว่า             คอร์ด

4.  ส่วนของเส้นตรง  AB                                      เรียกว่า             เส้นผ่านศูนย์กลาง

5.  ส่วนของเส้นตรง  OX                                      เรียกว่า             ระยะที่คอร์ดห่างจากจุดศูนย์กลาง

ทฤษฎีเกี่ยวกับคอร์ดของวงกลม

                1.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง  ไปยังจุดกึ่งกลางของคอร์ดใดๆ  ( ที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนั้น )  จะตั้งฉากกับคอร์ด

                2.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งไปตั้งฉากกับคอร์ดใดๆของวงกลม  จะแบ่งครึ่งคอร์ดนั้น

                3.  เส้นตรงซึ่งแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลมใดๆ  จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

                4.  มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

                5.  ในวงกลมเดียวกัน  หรือวงกลมที่เท่ากัน  คอร์ดที่ยาวเท่ากัน  ย่อมอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน

                6.  ในวงกลมเดียวกัน  หรือวงกลมที่เท่ากัน  คอร์ดที่ยาวย่อมอยู่ใกล้  จุดศูนย์กลางของวงกลมมากกว่าคอร์ดที่สั้น

                7.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงที่ตัดกันย่อมแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดร่วม

ส่วนโค้งและมุมในวงกลม

บทนิยาม

1.  ครึ่งวงกลม  คือ  ระนาบที่ประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและครึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม

                2.  ส่วนโค้ง  คือ  ส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นรอบวงของวงกลม  ถ้าเส้นรอบวงถูกแบ่งออกเป็น  2  ส่วนไม่เท่ากันส่วนโค้งที่ยาว  เรียกว่า  ส่วนโค้งใหญ่  และ  ส่วนโค้งที่สั้น  เรียกว่า  ส่วนโค้งน้อย

                3.  ส่วนของวงกลม  คือ  ระนาบที่ประกอบด้วยคอร์ดกับส่วนโค้งของวงกลม

                4.  มุมที่จุดศูนย์กลาง  คือ  มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่ที่จุดศูนย์กลางและมีรัศมี  2  เส้น เป็นแขนของมุม

                5.  มุมในส่วนโค้งของวงกลม  คือ  มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลมและมีแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

 

1.  ส่วนโค้ง  ACB                                               เรียกว่า             ส่วนโค้งใหญ่

2.  ส่วนโค้ง  ADB                                               เรียกว่า             ส่วนโค้งน้อย

3.  พื้นที่  F                                                          เรียกว่า             ครึ่งวงกลม

 

1.  มุม  C                                                             เรียกว่า             มุมในส่วนโค้งของวงกลม

2.  มุม  O                                                             เรียกว่า             มุมที่จุดศูนย์กลาง

ทฤษฎีเกี่ยวกับส่วนโค้งและมุมในวงกลม

                1.  มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมทีขนาดเป็นสองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

                2.  มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาวเท่ากัน  ย่อมมีขนาดเท่ากัน

                3.  สี่เหลี่ยมที่แนบอยู่ในวงกลม  มุมตรงข้ามรวมกันย่อมเท่ากับสองมุมฉาก

                4.  สี่เหลี่ยมที่มีมุมตรงข้ามรวมกันเป็นสองมุมฉาก  วงกลมย่อมผ่านได้

                5.  ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุในวงกลมออกไป  มุมภายนอกที่เกิดขึ้นย่อมเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงกันข้าม

                6.  มุมภายในครึ่งวงกลมย่อมเป็นมุมฉาก

                7.  ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน  มุมที่อยู่บนส่วนโค้งที่ยาวเท่ากันย่อมมีขนาดเท่ากัน

                8.  ในวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากัน  ส่วนโค้งซึ่งอยู่ตรงกันข้ามกับมุมที่เท่ากันย่อมยาวเท่ากัน

เส้นสัมผัส

บทนิยาม

                1.  เส้นผ่านวง  คือ  เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลม  2  จุด

                2.  เส้นสัมผัส  คือ  เส้นตรงที่ลากตัดเส้นรอบวงของวงกลมเพียงจุดเดียว  จุดนี้เรียกว่า  จุดสัมผัส

                3.  เส้นสัมผัสร่วม  คือ  เส้นตรงที่สัมผัสวงกลมตั้งแต่สองวงขึ้นไป

 

1.  ส่วนของเส้นตรง  AB                                      เรียกว่า             เส้นผ่านวง

2.  ส่วนของเส้นตรง  CD                                     เรียกว่า             เส้นสัมผัส

3.  จุด  E                                                             เรียกว่า             จุดสัมผัส

ทฤษฎีเกี่ยวกับเส้นสัมผัส

                1.  เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

                2.  จากจุดๆหนึ่งภายนอกวงกลม  ลากเส้นสัมผัสวงกลมได้สองเส้นยาวเท่ากัน  และต่างรองรับมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากันด้วย

                3.  วงกลมสองวงสัมผัสกัน  จุดสัมผัสกับจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองย่อมอยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

4.       มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัส  ทำกับปลายคอร์ดที่จุดสัมผัส  ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมที่อยู่ตรงกันข้าม

รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

สรุปสูตรเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม

1.  ผลบวกของมุมภายในทุกมุมของรูป  n  เหลี่ยม                                                               =                  180n – 360                    องศา

                                            ( n = จำนวนด้าน )                                                                =                  ( n – 2 ) 180                   องศา

 

2.  มุมภายในแต่ละมุมของรูป  n  เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า                                                      =                                                          องศา

3.  ผลบวกของมุมภายนอกทุกมุมของรูป  n  เหลี่ยม                                                            =                  360                                 องศา

 

4.  จำนวนเส้นทแยงมุมของรูป  n  เหลี่ยม                                                                          =                                                          องศา