weerapat

วันจันทร์ที่ 6 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2555

การคูณ

ก่อนหน้าที่เราจะไปศึกษาการคูณ มาทำความรู้จัก การใช้การคูณในชีวิตประจำวัน มีอยู่มากมาย

เช่่น มีเสื้ออยู่ 2 ตัว กางเกง 3 ตัว เราจะมีวิธี ที่จะใส่เสื้้อและกางเกง กี่วิธีที่ไม่ซ้ำกัน ?

มีเพื่อนอยู่ 5 คน ต้องการแบ่งส้มให้เพื่อน คนละ 4 ผล ต้องใช้ส้มทั้งหมดกี่ผล ?

ดังนั้น ในตอนนี้ เรามาดูคำจำกัดความของการคูณ ความหมาย และรูปแแบบของการคูณ

คำนิยาม การคูณ คือการกระทำ ระหว่างสองจำนวน และจะได้ผลการคูณออกมาเรียก จำนวนที่ มาคูณกันว่า

ตัวประกอบ ( factors ) และผลที่ได้เรียกว่า ผลลัพธ์ ( product )

ดังนั้น ตัวอย่าง ในทางคณิตศาสตร์ จะมีประโยคดังนี้

3 X 5 = 15

ตัวประกอบตัวแรกเราจะได้ว่า

3 เป็นตัวประกอบตัวแรก เราจะให้เป็นกลุ่ม

5 เป็นตัวประกอบที่ สอง เราให้เป็นสมาชิกในกลุ่ม

15 เป็นจำนวนสมาชิกทั้งหมด ที่เกิดขึ้น

ดังนั้น เราจะอธิบายเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ ว่า

3 X 5 = 15

เมื่อเราเทียบกับความรู้เดิม ที่เราเรียน คือการบวก จะได้ว่า

3 X 5 = 5 + 5 + 5 = 15

จะได้ว่า 3 กลุ่ม โดยแต่ละกลุ่ม มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 5

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาผลคูณ ของ

3 x 4 = 12

ซึ่งสามารถ อธิบายทางคณิตศาสตร์ ได้ดังนี้

4 X 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

และ การคูณ ของ 4 x 3

จากรูปเราจะเห็นความแตกต่างระหว่าง 3 x 4 และ 4 x 3 โดยที่ทั้งสองจำนวน

มีค่าเท่ากัน คือเท่ากับ 12

จะมีความหมาย เหมือนกับตัวอย่างอื่น ๆ เช่น

2 x 3 จะมีค่าเท่ากับ 3 x 2 เท่ากับ 6

จะได้ว่า การสลับที่ ไม่มีผลใด ๆ ต่อการคูณ จะได้ค่าเท่ากัน สรุป เป็นกฏการสลับที่การคูณ

หรือ a x b = c มีค่าเท่ากับ b x a = c

เรา สามารถอธิบายและทำความเข้าใจได้อย่างง่าย ๆ โดยใช้รูปภาพ ดังนี้

1 X 5

2 X 5

3 X 5

4 X 5

5 X 5

6 X 5

7 X 5

8 X 5

9 X 5

สำหรับการคูณ เราสามารถ หาผลคูณ ของจำนวนต่าง ๆ

ตัวประกอบ X ตัวประกอบ	ผลคูณ
0 x 2	0
1 x 2	2
2 x 2	4
3 x 2	6
4 x 2	8
5 x 2	10
6 x 2	12
7 x 2	14
8 x 2	16
9 x 2	18
10 x 2	20

ต่อไปเราพิจารณา การคูณ กับศูนย์

3 X 0 = 0 + 0 + 0 = 0

4 X 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

5 X 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

6 X 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

และอื่น ๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ ก็จะตรงกับคุณสมบัติ การคูณ กับ ศูนย์

n x 0 = 0

0 x n = 0

ต่อไปเราจะพิจารณา คุณสมบัติของ 1 กับการคูณ

ตัวอย่าง

3 X 1 = 3

4 X 1 = 4

5 X 1 = 5

6 X 1 = 6

และจำนวนอื่่น ๆ จะได้เอกลักษณ์ การคูณ ดังนี้

a x 1 = a

1 x a = a

การคูณ หาคำตอบ ของโจทย์การคูณสามารถใช้การกระจายได้ดังนี้

= 2 X 15

= 2 X ( 10 + 5 )

= 2 X 10 + 2 X 5

การคูณ หาคำตอบ ของโจทย์การคูณสามารถโดยใช้รูปภาพ และการกระจายได้ดังนี้

= 2 X 15

= 2 X ( 10 + 5 )

= 2 X 10 + 2 X 5 = 20 + 10 = 30

เราจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าการคูณสามารถกระจายออกมาดังรูป

ตัวอย่าง 6 x 5

วิธีทำ

6 x

3 0

ตอบ 30

ตัวอย่างที่ 2 12 x 5

วิธีทำ 1 2 x (เพราะ 12 = 10 + 2 )

1 0 ( 5 x 2 = 10 )

5 0 ( 5 x 10 = 50 )

6 0 ( 10 + 50 = 60 )

ตัวอย่างที่ 3 25 x 6

วิธีทำ

2 5 x (เพราะ 25 = 20 + 5 )

3 0 ( 6 x 5 = 30 )

1 2 0 ( 6 x 20 = 120 )

1 5 0 ( 30 + 12 0 = 42 )

ตัวอย่างการทำแบบย่อ

ตัวอย่างที่ 4 25 x 6

วิธีทำ ทด 3

2 5 x

1 5 0 ( 6 x 5 = 30 ใส่ 0 ทด 3 )

( 6 x 2 = 12 บวกที่ทดไว้ 3 ได้ 15 )

ตัวอย่างที่ 5

ตอบ 3096

ตัวอย่างการทำแบบย่อ

ตัวอย่างที่ 6 2 5 8 x 1 2

วิธีทำ

2 5 8 x

1 2 (2 x 8 = 16 ใส่ 6 ทด 1)

(2 x 5 = 10 ใส่ 0 บวกไว้ทด 1 ได้ 11 ใส่ 1 ทด 1 )

(2 x 2 = 4 บวกทดไว้ 1 ได้ 5 )

5 1 6

2 5 8 (1 x 8 = 8 ใส่ 8 ตรงกับหลัก ตัวคูณ เลข 1 )

( 1 x 5 = 5 , 1 x 6 = 6 )

3 0 9 6

ตอบ 3096

ฟังก์ชันคู่อันดับ

ในบทนี้เรา จะกล่าว ถึงคู่อันดับ ความ หมาย ของ คู่ อันดับ นำค่าของคู่อันดับมาทำ มาเขียนความสัมพันธ์

แบบแจกแจงสมาขิกเป็นเซต แบบคู่อันดับในรูปตาราง แบบคู่อันดับเขียนลงบนกราฟ

แบบแจกแจงสมาชิกเป็นแผนภาพแสดงการจับคู่ และ เรียนจาก ตัวอย่าง คู่อันดับ

	คู่อันดับ ความหมายของ คู่อันดับ คู่อันดับ (a ,b) เรา อ่านว่า " คู่ อันดับ เอ บี " ความหมาย ของคู่อันดับ คือ เมื่อ มีคู่อันดับ ( a, b ) เราจะกล่าวว่า " a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง "
	เราสามารถกล่าวโดยยกเป็นตัวอย่างเช่น เมื่อ คู่อันดับ ( a, b ) = ( 6 , 11 ) เราจะได้ความหมาย คือ a เป็นคู่อันดับตัวแรก มีค่าเท่ากับ 6 → a = 6 b เป็นคู่อันดับตัวที่สอง มีค่าเท่ากับ 11 → b = 11
	ดังนั้น จากตัวอย่าง ถ้ามีการสลับคู่อันดับ คู่อันดับที่ได้ จะเป็นคู่อันดับใหม่ เช่น ( a, b ) = ( 6 , 11 ) แต่เมื่อเราสลับคู่อันดับ ( b, a ) = ( 11 , 6 ) ค่าของคู่อันดับจะเปลี่ยนไป ได้คู่อันดับตัวใหม่ที่ไม่เหมือนเดิม เราสรุปได้ว่า ( a, b ) ≠ ( b, a ) แล้ว มีไหมที่ คู่ลำดับ เมื่อสลับ อันดับกันแล้วจะมีค่าเท่ากัน ก็สามารถตอบได้ว่ามี เมื่อ ค่า ของ a และ b มีค่าเท่ากัน ( a, b ) = ( 6 , 6 ) เมื่อสลับคู่อันดับ ( b, a ) = ( 6 , 6 ) เราสรุปได้ว่า ( a, b ) = ( b, a ) เมื่อ a = b ต่อไปเรามาดูตัวอย่างเพื่อความเข้าใจ
	เราสามารถ นำคู่อันดับ มาเขียนลงบน กราฟได้โดย ตู่อันดับ ( a , b ) = ( x , y ) " ค่า พิกัด x เราใช้ ค่าของ a และ ค่าพิกัด y เราใช้ค่าของ b " ตัวอย่าง เช่น คู่ลำดับ ( a , b) = ( 2 , 3 ) เขียนกราฟ ของคู่ลำดับได้ โดย ค่า พิกัด x เราใช้ ค่าของ a = 2 และ ค่าพิกัด y เราใช้ค่าของ b = 3

	สรุป คู่อันดับ ( a, b) จะมี a เป็นสมาชืกตัวหน้า หรือ พิกัด x b เป็นสมาชืกตัวหลัง หรือ พิกัด y คู่อันดับ ( a, b) = ( c , d ) ได้ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d " คู่อันดับ เท่ากันได้ เมื่อ ตัวหน้า เท่ากับตัวหน้า และ ตัวหลังเท่ากับตัวหลัง " คู่อันดับ ( a, b) ≠ ( b , a ) เมื่อ a ≠ b " สลับที่แล้วไม่เท่ากัน เพราะ ค่าของตัวหน้าและตัวหลังไม่เท่ากัน "

	เรามาดู ตัวอย่าง คู่อันดับเพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}(x,y) &=& ( 20,1+3x )\end{array}$ จงหาค่าของ x และ y
	วิธีทำ เรา ทราบว่า คู่อันดับ ( a, b) = ( c , d ) ได้ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d ดังนั้น $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}(x,y) &=& ( 20,1+3x )\end{array}$ เราก็จะได้ค่า x = 20 และ ค่า y = 1 + 3x เมื่อเราต้องการ หาค่าของ y เรานำ ค่าของ x ไปแทนในสมการจะได้ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}y &=& 1+3x \\y &=& 1+(3 \times 20) \\y &=& 61\end{array}$ เราก็จะได้ค่า x = 20 และ ค่า y = 61
	เรามาดู ตัวอย่าง คู่อันดับ อีกสัก 1 ตัวอย่าง เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}x &=& 1,2,4 ,6 \\y &=& 4+ x\end{array}$ ให้หาค่าคู่อันดับ ( x , y ) และนำ คู่ลำดับ มาเขียนลงในกระดาษกราฟ
	วิธีทำ เรา รู้ทันว่า x มีค่าเท่ากับ 1 , 2 , 4 , 6 และ y = 4 + x เราสามารถเขียน คู่อันดับ ( x , y ) ได้เท่ากับ ( x , 4 + x ) ดังนั้นเมื่อเราแทนค่า x $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}x &=& 1 \\y &=& 4+ x = 4+1 = 5\Rightarrow (1,5)\end{array}$ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}x &=& 2 \\y &=& 4+ x = 4+2 = 6\Rightarrow (1,6)\end{array}$ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}x &=& 4 \\y &=& 4+ x = 4+4 = 8\Rightarrow (1,8)\end{array}$ $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}x &=& 6 \\y &=& 4+ x = 4+6 =10\Rightarrow (1,10)\end{array}$ เราสามารถนำคู่ลำดับ มาวาดในกระดาษกราฟได้ดังนี้
	เรามาดู ตัวอย่าง คู่อันดับ และกราฟ อีกสัก 1 ตัวอย่าง เพื่อความเข้าใจ ตัวอย่างที่ 3 กำหนด คู่อันดับ ( x, y ) ดังนี้ ( 4, 5 ) , (-3, 2 ) , ( -4,-4 ) , ( 5 ,-1 ) , ( 2 ,0 ) ให้นำมาเขียนลงบน กระดาษกราฟ
	วิธีทำ คู่อันดับ ( x , y ) ที่กำหนดมาให้ เราสามารถ นำค่าของคู่อันดับมาเขียนบนกราฟ ได้ดังนี้
	เรามาดู ตัวอย่าง คู่อันดับ และกราฟ อีกสัก 1 ตัวอย่าง เพื่อความเข้าใจ ตัวอย่างที่ 4 กำหนด คู่อันดับ ( x, y ) ดังนี้ ( 6, 0 ) , (-2, 4 ) , ( -4,-6 ) , ( 4, 4 ) , (2, - 3 ) เราสามารถอธิบายความสัมพันธ์ ชองคู่อันดับได้ด้วยวิธีใดบ้าง
	วิธีทำ คู่อันดับ ( x , y ) ที่กำหนดมาให้ เราสามารถ นำค่าของคู่อันดับมาทำ มาเขียนความสัมพันธ์ ได้ 4 ชนิด คือ 1.แบบแจกแจงสมาขิกเป็นเซต 2.แบบคู่อันดับในรูปตาราง 3.แบบคู่อันดับเขียนลงบนกราฟ 4.แบบแจกแจงสมาชิกเป็นแผนภาพแสดงการจับคู่ ได้ดังนี้ 1.แบบแจกแจงสมาขิกเป็นเซต $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (6,0 ),(-2,4 ),(-4,-6 ),(4,4 ),(2,-3 )\right \} \end{array}$ 2.แบบคู่อันดับในรูปตาราง 3.แบบคู่อันดับเขียนลงบนกราฟ กราฟ 4.แบบแจกแจงสมาชิกเป็นแผนภาพแสดงการจับคู่ (mapping )