ลำดับ

  ลำดับ (อังกฤษ: Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนของเซตเป็นจำนวนเต็มบวก และถ้าลำดับในเซต A คือ ลำดับที่มีเรนจ์เป็นสับเซต ของ A ถ้าโดเมนมีจำนวนจำกัด เรียกว่า "ลำดับจำกัด" ถ้าโดเมนมีจำนวนไม่จำกัด เรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้าให้ f เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนจริง เราจะเรียก f(1),f(2),f(3),... ว่า ลำดับของจำนวนจริง

ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence หรือ arithmetic progression)

      บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference) สามารถเขียนสูตรของพจน์ที่ n ในรูปของพจน์ที่ 1 ได้ดังสมการ

a_n = a₁ + (n − 1)d

โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตเช่น 2, 4, 6, 8, ... ในที่นี้ และสามารถเขียนพจน์ทั่วไปอยู่ในรูป

ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence or geometric progress)

      บทนิยาม ลำดับเรขาคณิตคือ อัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ n +1 กับ พจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) สามารถเขียนพจน์ที่ n ใดๆ ในรูปของพจน์ที่ 1 ดังนี้

a_n = a₁ * r^{n − 1}

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต

           เช่น 1, 2, 4, 8, ... โดยที่ และ a_n = 1 * 2^{n − 1} = 2^{n − 1}

ลำดับฮาร์มอนิก (harmonic sequence)

       บทนิยาม ลำดับฮาร์มอนิกหมายถึง ลำดับที่มีพจน์แต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของพจน์ในลำดับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น ส่งผ่านค่าไม่ได้ (การจำแนกสูตรผิดพลาด): 1,\ 1/2,\ 1/3,\ 1/4,\... == พจน์กลางของลำดับต่างๆ == 1. ถ้า <math>a,\ A,\ b

เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง

2. ถ้า เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับเรขาคณิตแล้ว

สูตร พจน์กลาง

3. ถ้า เป็นสามพจน์เรียงกันในลำดับฮาร์มอนิกแล้ว

สูตร พจน์กลาง

ลำดับสลับ (alternating sequence)

         ลำดับสลับคือ ลำดับซึ่งพจน์ที่ n กับพจน์ที่ n + 1 มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน

 ลำดับฟีโบนักชี (Fibonacci sequence)

        ลำดับฟีโบนักชีคือลำดับของจำนวนเต็มบวก ซึ่งมีสมบัติว่า a_n = a_{n − 1} + a_{n − 2}

 ลำดับโคชี (Cauchy sequence)                                           

       ลำดับโคชีคือลำดับซึ่ง | a_n - a_{n − 1} | มีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด

เรขาคณิตเบื้องต้น

เรขาคณิตเบื้องต้น

  

จุด ( point )

                   เราใช้จุดแสดงตำแหน่งของสิ่งต่างๆ เช่น ตำแหน่งของสถานที่ในแผนที่ ตำแหน่งของดวงดาว ในทางเรขาคณิต จุด เป็นคำอนิยาม ( undefined term ) ไม่ต้องอธิบายความหมายว่าคืออะไร ในอดีตยูคลิดเคยพยายามให้ความหมายของจุดไว้ว่า หมายถึง สิ่งที่ไม่มีความกว้างและความยาว ซึ่งเป็นการให้นิยามที่ยังไม่สมบูรณ์เพราะต้องใช้คำที่ไม่สามารถให้นิยามได้อีก ได้แก่ คำว่า ความกว้างและความยาว เพื่อช่วยให้เข้าใจตรงกันจึงตั้งชื่อจุดโดยใช้ตัวอักษรภาษาไทย หรือตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น ก ข หรือ A ดังภาพ

·         ก อ่านว่า จุด ก
·         ข อ่านว่า จุด ข
·       A อ่านว่า จุด A

 

ระนาบ ( plane ) 

                ระนาบหมายถึงพื้นที่ผิวแบนและเรียบที่แผ่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ส่วนของพื้นที่ผิวที่เราเห็นขอบเขตได้จึงเป็น " ส่วนของระนาบ " เท่านั้น การกำหนดระนาบจะต้องใช้จุดอย่างน้อย 3 จุด และทั้ง 3 จุดนั้นจะต้องไม่อยู่ร่วมเส้นตรงเดียวกัน

 

เส้นตรง ( line )

เส้นตรงเป็นคำอนิยาม

ภาพแสดงตัวอย่างแนวคิดของเส้นตรง

ส่วนของเส้นตรง ( line segment )

           กำหนดจุดขึ้นมา 2 จุด เช่น จุด A และจุด B แล้วนำไม้บรรทัดหรือสันตรง มาวางทาบให้ผ่านจุดทั้งสองและใช้ดินสอ จรดที่จุด A แล้วลากดินสอไปตามสัน ของไม้บรรทัดหรือสันตรงจนถึงจุด B เส้นที่เกิดขึ้นเรียกว่า " ส่วนของเส้นตรง AB " ( line segment AB ) โดยมีจุด A และ จุด B เป็น " จุดปลาย " ( end points )

เส้นโค้ง ( curve )

           ถ้าจรดดินสอบนกระดาษแล้วลากไปในลักษณะใดก็ได้ เส้นที่เกิดขึ้นเรียกว่า curve ซึ่งแปลเป็นภาษาไทยตามหนังสือศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถานว่า " เส้นโค้ง " แต่ curve ในความหมายของนักคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นที่จะต้องมีลักษณะโค้งงอสมดังชื่อเสมอไป ส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ฯลฯ ล้วนเป็น curve ด้วยกันทั้งสิ้น

ตัวอย่างของ curve

             ถ้าเริ่มต้นจรดดินสอที่จุดใดจุดหนึ่งแล้วลากเส้นให้ปลายดินสอมาบรรจบลงที่จุดเดิม เราจะได้ เส้นโค้งปิด ( closed curve ) เช่น รูป (2), (4), (5) และ (8) เป็นเส้นโค้งปิด ส่วนเส้นโค้งที่ไม่ใช่เส้นโค้งปิด เช่น รูป (1), (3), (6) และ (7) เรียกว่า เส้นโค้งเปิด ( open curve ) เพราะจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดไม่ใช่จุดเดียวกัน

เส้นโค้งที่ไม่ตัดกับตัวมันเอง เรียกว่า เส้นโค้งเชิงเดี่ยว ( simple curve ) พิจารณา ตัวอย่างต่อไปนี้

 

            เส้นโค้งที่เป็นทั้งเส้นโค้งปิดและเส้นโค้งเชิงเดี่ยว เรียกว่า เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยว ( simple closed curve ) เช่น รูป (2) และ (4)

            เส้นโค้งเปิดเชิงเดี่ยว ( simple open curve ) ให้นิยามไว้ในทำนองเดียวกัน เราจะให้ความสนใจเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวเป็นพิเศษ เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวแบ่งจุดต่างๆ ในระนาบออกเป็น 3 ส่วน คือ จุดภายนอก จุดภายใน และจุดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวนี้รู้จักกันในอีกชื่อว่า Jordan curve

รังสี ( ray )

       ถ้าใช้ดินสอจรดที่จุด A แล้วลากเส้นตามขอบของสันตรงไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้น เรียกว่า รังสี เรียก จุด A ว่าจุดปลายของรังสี

       ถ้าลากเส้นจากจุด A ให้ผ่านจุด B แล้วต่อเส้นออกไปเรื่อยๆ เส้นที่เกิดขึ้น เรียกว่า รังสี AB

มุม ( angle )

       มุม เกิดจากรังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนี้เรียกว่า จุดยอดมุม รังสีแต่ละเส้นเรียกว่า แขนของมุม

 

การวัดมุม

             หน่วยวัดขนาดมุม เรียกว่า " องศา " มาตรฐานของการวัดมุมกำหนดจากมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเกิดจากการแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 360 ส่วน ส่วนละเท่าๆ กัน กำหนดจุด 2 จุด สมมติให้เป็นจุด A และจุด B ห่างกันเป็นระยะ 1 ใน 360 ส่วน ลากส่วนของเส้นตรงจากจุด A และจุด B ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม จะเกิดมุมขึ้น มุมนี้ถือเป็นมาตรฐานการวัดมุมที่เรียกว่า หนึ่งองศา

การวัดขนาดของมุมอาจใช้เครื่องมือวัดมุมต่อไปนี้

ชนิดของมุม
มุมฉาก          เป็นมุมที่มีขนาด 90 องศา

มุมแหลม       เป็นมุมที่มีขนาดเล็กกว่ามุมฉาก

มุมป้าน          เป็นมุมที่มีขนาดใหญ่กว่ามุมฉาก

                      แต่ไม่ถึงสองมุมฉาก

มุมตรง           เป็นมุมที่มีขนาดเป็นสองเท่าของมุมฉาก

มุมกลับ          เป็นมุมที่มีขนาดใหญ่กว่าสองมุมฉาก

                      แต่ไม่ถึงสี่มุมฉาก

โดยทั่วไปเราเขียน "^o " แทนคำว่า " องศา " เช่น 90^o อ่านว่า เก้าสิบองศา และ 35^o อ่านว่า สามสิบห้าองศา

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

                ถ้าสามเหลี่ยม  ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  ซึ่งมี  AĈB  เป็นมุมฉาก  ให้  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม  A , B และ C  ตามลำดับ     แล้วจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก  คือ

 

                                                                                                                                                   

                                                                                                                                                    c²  =  a²  +  b²

ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในอีกความหมายหนึ่ง

                ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

               

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

                ถ้าสามเหลี่ยม  ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  ซึ่งมี  AĈB  เป็นมุมฉาก  ให้  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม  A , B และ C  ตามลำดับ     แล้วจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก  คือ

 

                                                                                                                                                   

                                                                                                                                                    c²  =  a²  +  b²

ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในอีกความหมายหนึ่ง

                ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

               

                                                                                                                                                        6

บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส                                                                                                      

                ถ้า  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC  และ  c²  =  a² + b²   แล้วจะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC นี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  โดยมีด้านยาว  c  หน่วย  เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

การเปรียบเทียบทฤษฎีบทปีทาโกรัส  กับบทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ               คือ           ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

                                                                c  แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

                                                                a  และ  b  แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

ข้อความที่เป็นผล                 คือ           c²  =  a² + b²

บทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ               คือ           ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยม  มีด้านยาว a , b และ c หน่วย  และ  c²  =  a² + b²

ข้อความที่เป็นผล                 คือ           รูปสามเหลี่ยม ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  และมีด้านที่ยาว  c  หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

                                                                                                                                                        

บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส                                                                                                      

                ถ้า  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC  และ  c²  =  a² + b²   แล้วจะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC นี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  โดยมีด้านยาว  c  หน่วย  เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

การเปรียบเทียบทฤษฎีบทปีทาโกรัส  กับบทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ               คือ           ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

                                                                c  แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

                                                                a  และ  b  แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

ข้อความที่เป็นผล                 คือ           c²  =  a² + b²

บทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ               คือ           ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยม  มีด้านยาว a , b และ c หน่วย  และ  c²  =  a² + b²

ข้อความที่เป็นผล                 คือ           รูปสามเหลี่ยม ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  และมีด้านที่ยาว  c  หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

                                                                                                                    

โครงสร้างคณิตศาสตร์

โครงสร้างคณิตศาสตร์
1. อนิยาม (Undefined Terms) หมายถึง คำที่ไม่ต้องให้ความหมายหรือ คำจำกัดความ แต่เมื่อกล่าวถึงต้องมีความเข้าใจตรงกัน เนื่องจากมีความหมายชัดเจนอยู่ในตัวเอง เป็นคำที่ทุกคนเข้าใจตรงกันว่าหมายถึงสิ่งใด โดยอาจจะใช้วิธีการยกตัวอย่างหรือใช้ความเข้าใจด้วยปฏิภาณ ตัวอย่างของอนิยามในคณิตศาสตร์ เช่น จุด เส้นตรง เท่ากัน มากกว่า น้อยกว่า ค่าคงที่ เซต ระนาบ

2. นิยาม (Definition or Defined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมาย หรือคำจำกัดความไว้ชัดเจน โดยการนำอนิยามมาอธิบายหรือกำหนดคุณลักษณะของสิ่งเหล่านั้น เช่น มุมฉาก หมายถึง มุมที่มีขนาด 90 องศา หรือ คำว่า “ เส้น ” ไปนิยามคำว่าเส้นตรง เส้นขนาน

3. สัจพจน์ ( Axioms) หรือ กติกา (Postulate) หรือ ข้อตกลงเบื้องต้น (Assumption) หมายถึง ข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่ต้องพิสูจน์ มักจะแสดงความสัมพันธ์ของนิยามหรืออนิยาม ที่เป็นพื้นฐานมากจนไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ เช่น เส้นขนานย่อมไม่ตัดกันเลย

4. ทฤษฎีบท (Theorems) หมายถึง ผลสรุปที่ได้จากข้อมูลชุดหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ทุกกรณี การพิสูจน์ทฤษฎีจะใช้วิธีการให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ โดยการนำเอานิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่ได้พิสูจน์แล้วไปสนับสนุนให้เป็นเหตุเป็นผล เพื่อแสดงว่าทฤษฎีเป็นจริง ความเป็นจริงในทุกกรณีของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสมเหตุสมผล ไม่ได้หมายถึงข้อเท็จจริง แต่ความสมเหตุ สมผล อาจจะตรงกับข้อเท็จจริงทุกกรณีก็ได้ ขึ้นอยู่กับกติกาที่ใช้เป็นฐานของทฤษฎีนั้น ถ้ากติกาตรงกับข้อเท็จจริง ทฤษฎีที่พิสูจน์โดยใช้กติกานั้นอ้างอิงเป็นเหตุเป็นผลย่อมเป็นจริง ตรงกับข้อเท็จจริงด้วย เช่น เส้นตรง สองเส้นตัดกัน มุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน